Formules d'addition

On admet que, pour tous réels \(a\)  et \(b\) , on a \(\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)\) .

1. a. Déterminer une formule analogue pour \(\cos(a-b)\) .
    b. En déduire la valeur exacte de  \(\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\) .

2. a. On rappelle que, pour tout réel \(x\) , on a \(\sin(x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\) . Montrer que, pour tous réels \(a\)  et \(b\) , on a \(\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)\) .
    b. Déterminer une formule analogue pour \(\sin(a-b)\) .

4. a. À l'aide des questions précédentes, montrer que, pour tout réel \(x\) ,

• \(\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\)
  
• \(\cos(2x)=2\cos^2(x)-1\)
  
• \(\cos(2x)=1-2\sin^2(x)\)
  

    b. En déduire la valeur exacte de \(\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\)  et \(\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)​\) .