Formules d'addition

On admet que, pour tous réels $a$  et $b$ , on a $\cos (a+b)=\cos (a)\cos (b)-\sin (a)\sin (b)$ .

1. a. Déterminer une formule analogue pour $\cos (a-b)$ .
    b. En déduire la valeur exacte de  $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)$ .

2. a. On rappelle que, pour tout réel $x$ , on a $\sin (x)=\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)$ . Montrer que, pour tous réels $a$  et $b$ , on a $\sin (a+b)=\sin (a)\cos (b)+\sin (b)\cos (a)$ .
    b. Déterminer une formule analogue pour $\sin (a-b)$ .

4. a. À l'aide des questions précédentes, montrer que, pour tout réel $x$ ,

• $\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$
  
• $\cos (2x)=2{\cos }^2(x)-1$
  
• $\cos (2x)=1-2{\sin }^2(x)$
  

    b. En déduire la valeur exacte de $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{8}}\right)$  et $\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{8}}\right)$ .